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Explorez les propriétés géométriques du nombre d'or et de la suite de Fibonacci, et le rapport entre les deux. Les figures particulières sont présentés comme la section d'or, le rectangle d'or, la spirale d'or, le triangle d'or...

Nombre d'or

Nombre d'or et calcul des proportions



Calculer un terme de la suite de Fibonacci :














Résultats : Nombre d'or et proportions

Proportion inférieure

(arrondi)
(arrondi)

Dimension choisie

(arrondi)
(arrondi)

Proportion supérieure

(arrondi)
(arrondi)








Résultats : Suite de fibonacci

Terme précédent


Terme choisi


Terme suivant







Infos : nombre d'or

Le nombre d'or φ (Phi) est utilisé dans de nombreux domaines : mathématiques, géométrie, art, architecture, biologie... L'ensemble de ses domaines d'application et de ses propriétés est tellement vaste qu'il est difficile de les résumer sur une seule page.
On trouve la première manifestation de la connaissance du nombre il y a 10 000 ans dans le temple d'Andros, sous la mer des Bahamas. Il est aussi présent dans la pyramide de Keops et le Parthenon d'Athènes.
Vers 300 avant J.C Euclide à évoqué le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison".
En 1498 Fra Luca Pacioli publie "La divine proportion" illustrée par Léonard De Vinci avec son Étude de proportion du corps humain selon Vitruve. Il introduit donc le terme de "divine proportion".
Au XIX ème siècle, Adolf Zeising parle de "section d'or" comme une proportion esthétique en art et architecture. Il retrouve ce nombre dans de nombreux monuments classiques et introduit le côté mystique du nombre d'or.
Au XX ème siècle, Matila Ghyka consolide le mythe en s'appuyant sur les travaux de Zeising et en développant la recherche du nombre dans la nature. Des peintres comme Picasso et Dali l'utilisent dans leurs oeuvres. L'architecte Le Corbusier l'utilise dans ses projets et développe le Modulor, un rapport de proportions entre les différentes parties du corps humain.
Encore utilisé de nos jours pour des raisons esthétiques, on retrouve par exemple le nombre d'or dans le logo d'Apple, de iCloud et dans la structure d'une page de Twitter.

En géométrie le nombre d'or est le rapport a / b entre deux longueurs a et b tel que : ( a + b ) / a = a / b. (Voir "Section d'or" ci-dessous)
Le nombre d'or vaut exactement ( 1 + √5 ) / 2, soit environ 1,618 033 988 7... C'est un nombre irrationnel, comme л (pi), il n'a pas de fin. Pour des raisons de précision c'est la formule de base qui est utilisée pour les calculs de cette page et pas un nombre arrondi.

Section d'or
Section d'or Une section est dite "section d'or" si ( a + b ) / a = a / b; le rapport a / b est alors égal au nombre d'or. Avec ce formulaire de calcul vous pouvez facilement calculer une section d'or. Par exemple, vous avez une dimension de base "a" qui vaut 10 et vous cherchez b. Il suffit de rentrer le nombre, cliquer sur "calcule tout" et vous obtenez la proportion inférieure b = 6,180339...A l'inverse, si vous connaissez "b" et que vous cherchez "a" entrez le chiffre b et regardez la proportion supérieure.


Rectangle d'or
Rectangle d'or Le rectangle d'or est un rectangle dont la longueur divisée par la largeur est égale au nombre d'or ( ici aussi a / b = φ ). Pour construire un rectangle d'or entrez une dimension de base ci-dessus. Si vous cherchez la largeur, entrez la longueur et regardez "proportion inférieure", si vous cherchez la longueur entrez la largeur et regardez la "proportion supérieure". On retire ensuite le plus grand carré possible de ce rectangle et on obtient un rectangle plus petit mais aux proportions identiques. On peut aussi facilement en construire un avec un carré de base et un compas (voir ci-contre).

Spirale d'or
Spirale d'or Si on répète l'opération précédente dans le petit rectangle qui vient d'être crée, on obtient à nouveau un rectangle plus petit aux proportions identiques, cette opération peut être répétée à l'infini, les rectangles seront toujours aux mêmes proportions. Cette figure sert de base à la spirale d'or, une spirale que l'on retrouve beaucoup dans la nature : tournesols, pommes de pins, coquillages, disposition des feuilles ou pétales sur certaines plantes.


Triangle d'or
Triangle d'or Les angles importants sont 108°; 72°; 36°. Tout triangle, quelques soient ses dimensions, qui a deux angles de 72° ou deux de 36° est un triangle d'or. Ici aussi le rapport du grand côté sur le petit est égal au nombre d'or et vous pouvez calculer ces dimensions ci-dessus. Sur la figure de droite on voit qu'un triangle d'or peut s'inscrire dans un autre. Comme pour le rectangle d'or cette opération peut être répétée à l'infini et sert de base à la construction d'une spirale d'or. Les triangles d'or sont aussi inscriptibles dans le pentagone régulier.

Pentagone régulier et triangles d'or
Pentagone régulier et triangles d'or Ce pentagone (5 côtés) est inscrit dans un cercle, tous ses côtés sont de mêmes mesures et tous ses angles sont égaux (108°). En y inscrivant des triangles d'or on forme un pentagone plus petit et de sens inversé dans lequel on peut répéter l'opération à l'infini. On peut ainsi former des figures répétitives infinies et complexes qui conservent toujours les mêmes proportions. Ci-contre on peut aussi voir que la totalité de la figure forme elle-même un grand triangle d'or.




Infos : Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci, un mathématicien italien du XIII ème siècle. Cette suite faisait partie au départ d'une étude sur la croissance d'une population de lapins.
Terme de rang 0 = 0
Terme de rang 1 = 1
Terme de rang 2 = 0 + 1 = 1
Terme de rang 3 = 1 + 1 = 2
Terme de rang 4 = 1 + 2 = 3
Terme de rang 5 = 2 + 3 = 5
Terme de rang 6 = 3 + 5 = 8
Terme de rang 7 = 5 + 8 = 13
...
La suite de Fibonnacci est très liée au nombre d'or. Lorsqu'on divise un des termes de la suite par le terme qui le précède, on a une estimation arrondie du nombre d'or. Inversement, si on multiplie un des termes de la suite par le nombre d'or on obtient une estimation du terme suivant, et si on divise un des termes par le nombre d'or on obtient une estimation du terme précédent.
Plus le terme est élevé plus la relation est étroite, les termes de rangs 4 et 5 donnent une estimation du nombre d'or précise au 10 ème ( 5 / 3 = 1,667 ), alors qu'avec les termes des rangs 24 et 25 on a une estimation précise au milliardième ( 75 025 / 46 368 = 1,618 033 988 9... ).

Pour voir le rapport entre le nombre d'or et la suite de Fibonacci, et tester la précision de la relation, calculez un terme de rang quelconque, entrez le résultat "terme choisi" dans la dimension de base et relancez le calcul.
Par exemple le terme de rang 10 vaut 55; donc pour "dimension de base" : 8 et "calculer le terme de rang" : 6, on voit tout de suite la relation entre φ et la suite de Fibonacci. On voit que la précision est cependant assez faible et ne fonctionne qu'avec les chiffres arrondis. Si on refait le test avec un terme de rang plus élevé (ex: dimension de base : 6765; terme de rang: 20) on voit tout de suite que la précision augmente.
A partir du rang 40, la précision entre nombre d'or et suite de Fibonacci est tellement importante que le système ne fait plus la différence. La dimension non-arrondie apparait comme identique au terme. Cependant les deux nombres (même extrêmement proches) ne sont jamais parfaitement identiques.

Rectangle d'or Une bonne approximation des figures précédentes peut être construite avec la suite de Fibonacci. On peut notamment construire un rectangle d'or à l'aide de carrés dont les côtés sont égaux aux nombres de la suite de Fibonacci. Ici on construit donc le rectangle d'or uniquement à partir de carrés. Les carrés crées auront pour côtés successifs : 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89...



Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature, comme dans les tournesols ou dans les pommes de pin. Le nombre de pétales de la marguerite (et d'autres fleurs composées comme le tournesol) appartient à la suite de Fibonacci : souvent 34, 55 ou 89. Cela s'explique par le mécanisme de développement de la plante.

Le formulaire de calculs de cette page est limité au rang 1476 qui donne environ 1,30 x 10 308.
Pour construire un rectangle d'or avec comme base un carré de 1 millimètre de côté, le 20 ème carré (rang 20) ferait 6,765 m de côté, le 100 ème carré (rang 100) ferait plus de 37 années lumière de côté, et le 1476 ème ferait environ 1,381 x 10 289 années lumière de côté soit 1 suivi de 289 zéros. Vous pouvez le vérifier avec ce convertisseur (pensez à copier-coller la totalité du résultat "Terme choisi"). On voit ainsi que la suite atteint très vite des chiffres astronomiques.


Pour aller plus loin : Sources et sites à voir

Trucsmaths : Le nombre d'or
Speecom : Le nombre d'or : secret du design d’Apple et Twitter…
Gecif : Les 100 000 premières décimales du nombre d'or
Wikipédia : Nombre d'or
Wikipédia : Suite de Fibonacci


Contributions :

Un grand merci à Youri Regtvoort pour avoir proposé ce calcul.


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